帕布莉卡看过《宇宙的琴弦》之后，对于弦论的十维时空有了基本的了解，但也因此有了疑问：
为什么除我们熟知的四维时空外，十维中的额外六维一定是卡丘流形？
归根结底，卡丘流形是什么呢？
带着这些疑问，我开始阅读这本由卡丘空间的冠名者之一丘成桐先生所著的书。
丘成桐
尽管与物理联系密切，但这依旧是一本几何学领域的数学科普，其中涉及的抽象的数学概念和繁复的专有名词，对于非数学专业的读者来说门槛不低。
好在作者将这些艰深之处一一拆分细讲，并辅以浅显而形象的例子进行说明。
比如，永远到达不了边界的庞加莱圆盘，与无质量、无能量的真空等价的黎奇平坦，描述类似风暴眼这样的向量场流动停滞之处的第一陈氏类。
这些具像化的说明，让外行的我也对这些抽象概念有了一些印象深刻的认识。
除了更为抽象之外，这本书使用的语言也更为克制冷静，没有物理学家在描述大图景时的慷慨激昂，仿佛立在一旁，冷眼看待物理学界的争辩。正如作者自己所说：「或许这是身为数学家的特权，不会在这场据称会撕裂物理社群的论战中被五马分尸。」
这或许也是本书的一大妙处吧——给纷争不断的物理学界绘制一个不近不远的、冷静的侧写。
那么回到最初的疑问。
卡丘流形究竟是什么？
首先，流形是局部和欧氏空间很相像的空间结构，可以把它简单看作几何空间。
卡丘流形并非某一特定流形，而是一个大类。这种流形有至少三万多种（也可能是无穷多种）拓扑类型，而在每个拓扑类型里，还有着连续无穷多的具有不同几何形状和大小的卡丘流形。
它是一种紧致的（封闭且有限、无边界）、第一陈氏类为零的（其上的向量场没有流动停滞的地方）凯勒流形（较为平坦的“二阶欧式空间”），具有黎奇平坦度规（任一点的所有切平面的平均截面曲率为零）。
最简单的一种卡丘流形是状似甜甜圈的二维环面，而在弦论中大展身手的则是紧缩的（普朗克尺度大小）六维（复三维）卡丘流形。
为什么十维弦论中的额外六维一定是卡丘流形？
卡丘流形是爱因斯坦方程的一组解，其黎奇平坦的特征等同于能量与质量为零的真空特例，它与宇宙的基础结构在直觉上就关联紧密。
紧致化的卡丘流形，可以将十维时空清楚地分为微小而卷缩的六维空间和无边界的宏观四维时空两个部分。并且，作为凯勒流形的一种，其内在对称性是超对称的一个特例。
如果要同时满足弦论的爱因斯坦方程与超对称方程，能够隐藏额外的维度，并让可观察的世界遵守超对称，那么在已知的研究中，卡丘流形是唯一的答案。
弦论的DNA
弦论的大部分进展以及所获得的大部分洞识，例如对镜对称、黑洞熵、标准粒子模型的重建、景观理论的解释或探索，都来自于对卡丘流形的研究。
而弦论的问题，同样很大程度上是数学的问题，也就是关于卡丘流形的问题。
虽然距卡丘流形的提出已过去三十余年，但对它的认识还非常局限。我们甚至不知道它有多少种拓扑结构，不知道可能的拓扑类型是有限的还是无限的，也不知道所有的卡丘流形之间是否存在某种关联、可以互相转化。在数学上，一些关键的猜想都还未被证明。
尚未夯实的底层基础，让弦论的理论研究无异于盲人摸象，所有结论都基于对特例的估算，又像在茫茫大海中捞针，企图撞大运般遇到那个唯一完全符合现实世界的流形。
数学与物理
正如卡丘流形是弦论的DNA，数学也是物理的DNA。
数学和物理，两者互相影响。尤其几何学界，一直与物理学界联系紧密，时常互相交换想法。有时，物理在已证明的数学理论中获得灵感，如卡丘流形；而反过来，物理也为数学提供概念、暗示、提点（然后在大部分情况由数学家证明），如镜对称。
而这些由物理启发而来的数学洞见，并不受其发源的限制。无论弦论最终正确与否，它提供和使用的数学理论一定有用。正如尽管牛顿引力论已被相对论取代，但研究它使用的微积分仍旧正确。
要明确的一点是，卡丘空间并未囊括弦论的所有解。未来对非凯勒流形（或其他替代选择）的基础数学研究的突破，也许会是弦论发展并通往成功的那一扇门。
这场阅读之旅令我收获颇丰。
对卡丘流形及其他相关几何学知识的粗浅认知本身，已足够令人激动，而由此厘清了弦论的底层逻辑，明白了弦论的限制与突破限制的方向，则更予我满载而归之感。
在书的最后几章，作者还与我们分享了他对于隐维空间的展开、数学的优美与大自然不可思议的相符、量子几何等话题的有趣思考。
数学家绝不沉湎于自己成就的开放心态和绝不停歇的探索脚步，也令我动容。正如作者所说，「如果科学将我们带领到另一种几何学，我也会心悦诚服地跟随。」
